个不同的事物有
种不同的排列方法。
本文介绍的对称群(Symmetric Groups)，可从排列中很自然的产生。凯莱定理(Cayley's theorem)说：排列——这种工具足够强大，可用来建立任意群。
Arthur Cayley (1821-1895)假设有5个对象，可用以下形式来表示排列第
和第
个元素对换：
，第1行是从1到5的序号，第2行是重新排列后的顺序。如果视排列为函数
，第一行为输入，第二行为输出。那么排列
与排列
的续贯操作，就如同函数组合(function composition)
。比如：排列
与
续贯操作等于
。注意函数组合是从右向左的，以1为例：
；以2为例：
.
来源：https://www.mathsisfun.com/sets/functions-composition.html这种表示方法不够高效，下面将介绍更简洁的循环表示法，以
为例，
，表示为
;
，表示为
，整体表示为
，称为循环分解(cycle decomposition)。
由3个元素组成，称为“3-cycle”，
由两个元素组成，称为“2-cycle”，“2-cycle”也称换位(Transposition)。
若两个cycle没有重复的元素，则它们的顺序可互换，如：
。
若两个cycle存在重复元素，则不能互换顺序，如
，LHS：
; RHS：
.
对上例略作变化：
可以表示为：
，注意到其中包含了2个1-cycle:
，由于1-cycle没进行任何改变，故可略去不写，故最终结果可表示为
。其实，未必要从
开始，也可从
开始，于是：结果表达为
；同样的，如果从
开始，结果表示为
，上面3个cycle是等价的。习惯上，选择最小的数作为开始，本例为
。
排列与群的概念很吻合，在“群的定义”一文中，我们定义了群的概念如下，逐条对下，排列都满足：
群G(Group)的元素属于一个集合
如果对一个特定collection中的元素进行排列，比如数字1，2，3，得到了一个包含
个元素的集合，下面几点可以自行考虑下；G对应的二元操作(Binary Operation)以
表示；封闭性(Closed under operation): 对G的两个元素进行任何操作，结果仍在集合内，即：
for all
；恒等元(Identity): 存在一个元素
，
； 逆(Inverse): 对每一个
的元素
，都存在一个元素
，使得
；
每种排列都可逆；结合律(Associativity):
.
个对象所有的重新排列组成对称群
，
表示对称 Symmetric.
S4的凯莱图 来源：Visual Group Theory上图是
的凯莱图，为了不太拥挤，具体数字没有标。
共
个对象，其凯莱图是被“砍掉”8个角的立方体，被称为“Truncated Cube”。
虽然对
个对象进行排列构成一个群，但是建立一个排列群并非一定需要所有的排列，通常
的子集就可以构成群，一种著名的方法就是取一半
的元素，构成交错群
，但是并非随意选一半都能构成群，但如果选取
中每个元素并对其进行平方，平方后得到的元素整好是
的一半，称为交错群(Alternating Group)
。
下图说明了
的形成过程，左边是
，右边是平方后的元素，6个元素中的4个相同，都是恒等元素，什么变化都不做(2个元素交换两次，打回原形)，故右侧实际包含3个不变的元素，是左边的一半，这三个元素就是
。
A3 来源：Visual Group Theory题图是柏拉图固体(Platonic solids)，柏拉图固体是种三维的多面体，其中每个面都是(每个角相等，每条边相等)正多边形。柏拉图固体只有图中的5种(可证明)。
A4的凯莱图 来源：Visual Group Theory四面体的对称群是
，包含了4个对象所有排列的一半。
立方体和八面体都对应同一个对称群
，这也是为什么
的凯莱图类似立方体的原因。
十二面体和二十面体都对应同一个对称群
，其大小为
，可分别以“砍角的”十二面体和二十面体来显示。
A5的凯莱图 来源：Visual Group Theory
第四次庄家抓牌的第一和第三幢的上面一张，第二家拿第一幢的下面一张，第三家拿第二幢的上面一张，第四家拿第二幢的下面一张。
三摊：如果一家吃碰杠在牌面上有三次博彩问答，并且三次都是同一色或者两字碰加任何一色或一字碰加同一色的